数学の夕べ　幾何の世界：幾何学と変換群

　数学は新たな視点を加えながら現在も発展を続けています。特に近代以降の数学から数多くの興味深いトピックが生まれました。容易にはアクセスできず、知られていないものも多くあります。
　近年は、数学についての啓発的な書物も多く出版され、三鷹ネットワーク大学で開講する小林一章先生の講座を含め、興味深いトピックがより深く取り上げられる機会も増えています。 
　本講座では、そのような興味深いトピックの中から一つ選んで、数学の視点や発展の様子などを紹介していきたいと思います。講座の中で、必要な予備知識も出来るだけ説明して行く予定です。
 

　美術作品や建造物には、その構造や模様に色々な対称性を持つものが多くあります。この対称性を見ていくと、そこには「群」という数学的概念が現れてきます。また、ユークリッド幾何学は、平行移動、折り返し、回転などの合同変換が作る群で変わらない性質を調べるものだとも考えられます。例えば、線分の長さはユークリッド幾何的性質で、角の大きさや円という形はもう少し広い概念である相似変換が作る群によって変わらない性質です。1872年に数学者クラインは「幾何学とはその群作用で変わらない性質を研究することである」という考え方（エルランゲン・プログラム）を提示しました。すなわち、群とその群が作用する空間を組にして、幾何学的対象として特徴づけます。

　７、８月に紹介したアファイン幾何学、球面幾何学、双曲幾何学は、どのような群で特徴づけられるのでしょうか。今回はこのような幾何学と群の関係を概観します。