数学の夕べ　距離空間と位相構造−トポロジーへの招待１

　数学は新たな視点を加えながら現在も発展を続けています。特に近代以降の数学から数多くの興味深いトピックが生まれました。容易にはアクセスできず、知られていないものも多くあります。
　近年は、数学についての啓発的な書物も多く出版され、三鷹ネットワーク大学で開講する小林一章先生の講座を含め、興味深いトピックがより深く取り上げられる機会も増えています。 
　本講座では、そのような興味深いトピックの中から一つ選んで、数学の視点や発展の様子などを紹介していきたいと思います。講座の中で、必要な予備知識も出来るだけ説明して行く予定です。

　今年度はトポロジー（位相幾何学）をいろいろな視点から紹介する。
　２つの図形が“同じ”とはどういうことだろうか？２つの三角形が合同であるとき、あるいは相似であるとき同じだと私達は言ってきた。しかしトポロジーでは、もっとゆるい基準で、曲げたり、ひねったり、伸ばしたり、縮めたりしながら連続的に一方が他方に変形されるとき“同じ(位相同型）”であると言う。いろいろな本にゴム膜の幾何学と表現されているのを目にしたことと思う。そこでは角度や長さや面積の大小は区別されない。例えば立方体や三角錐の表面と球面は位相同型であるが、トーラス（ドーナツの表面）はどのように伸ばそうが縮めようが球面に変形することはできない。これは位相同型のもとで不変な性質・量を調べることで示される。
　このような位相幾何学を概観するために、第１回目は“連続”であるとはどういうことかを見つめ、距離空間から始め位相構造について紹介する。余裕があれば位相不変な量の例も挙げたい。